📗 Troisième

L'Arithmétique

Diviseurs, multiples, nombres premiers et décomposition en facteurs premiers.

1. Divisibilité

Diviseura est un diviseur de b si b = a × k pour un entier k. On dit aussi que a divise b, ou que b est un multiple de a.

✏️ Critères de divisibilité à connaître

Divisible par	Critère	Exemple
2	Dernier chiffre pair (0,2,4,6,8)	48 ÷ 2 ✓
3	Somme des chiffres divisible par 3	123 : 1+2+3=6 ✓
4	Les 2 derniers chiffres divisibles par 4	312 : 12÷4=3 ✓
5	Dernier chiffre 0 ou 5	45, 120 ✓
9	Somme des chiffres divisible par 9	279 : 2+7+9=18 ✓
10	Dernier chiffre 0	130 ✓

2. Nombres premiers

Nombre premierUn nombre entier supérieur à 1 est premier s'il a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

✏️ Premiers nombres premiers

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47...

1 n'est PAS un nombre premier. 2 est le seul nombre premier pair.

3. Décomposition en facteurs premiers

📐 Méthode

✏️ Exemple — Décomposer 360

360 ÷ 2 = 180

180 ÷ 2 = 90

90 ÷ 2 = 45

45 ÷ 3 = 15

15 ÷ 3 = 5

5 ÷ 5 = 1

→ 360 = 2³ × 3² × 5

4. PGCD et PPCM

PGCDLe Plus Grand Commun Diviseur de a et b est le plus grand entier qui divise à la fois a et b.

PPCMLe Plus Petit Commun Multiple de a et b est le plus petit entier non nul multiple de a et de b.

✏️ Exemple — PGCD(48, 36)

48 = 2⁴ × 3 | 36 = 2² × 3²

PGCD = 2² × 3 = 12 (on prend les puissances minimales)

PPCM = 2⁴ × 3² = 144 (on prend les puissances maximales)

⚠️ Application : simplifier une fraction → diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD.

💡 Tout nombre entier ≥ 2 se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers. C'est le théorème fondamental de l'arithmétique !