Cours complet · Équations · Factorisation · Dérivées · Variations
Une équation du second degré est une équation de la forme ax² + bx + c = 0 où a, b, c sont des réels et a ≠ 0.
On calcule d'abord le discriminant :
Δ = b² − 4acSi Δ > 0 : deux solutions réelles distinctes
x₁ = (−b − √Δ) / (2a) et x₂ = (−b + √Δ) / (2a)Si Δ = 0 : une solution double
x₀ = −b / (2a)Si Δ < 0 : pas de solution réelle
Lorsque Δ ≥ 0, on peut écrire :
ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)Si Δ = 0 : ax² + bx + c = a(x − x₀)²
Résoudre : 2x² − 5x + 3 = 0
a = 2, b = −5, c = 3
Δ = (−5)² − 4 × 2 × 3 = 25 − 24 = 1 > 0
x₁ = (5 − 1) / 4 = 1 x₂ = (5 + 1) / 4 = 3/2
Forme factorisée : 2(x − 1)(x − 3/2)
Attention ! Si a < 0, la parabole est tournée vers le bas (∩). Le sommet est alors un maximum et non un minimum.
Si x₁ et x₂ sont les racines de ax² + bx + c, alors :
ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)Factoriser f(x) = x² − 5x + 6
Δ = 25 − 24 = 1 → x₁ = 2, x₂ = 3
f(x) = (x − 2)(x − 3)
Pour factoriser un polynôme P(x) de degré 3, on cherche une racine évidente (souvent un entier) en testant les diviseurs du terme constant. Si P(a) = 0, alors (x − a) est un facteur de P(x).
1. Tester a = ±1, ±2, ±3… jusqu'à trouver P(a) = 0
2. Effectuer la division euclidienne de P(x) par (x − a)
3. Factoriser le quotient (polynôme du 2nd degré) avec le discriminant
Factoriser : P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6
Test P(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0 ✓ → (x − 1) est un facteur
Division : x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x² − 5x + 6)
Factorisation de x² − 5x + 6 : Δ = 1 → racines 2 et 3
P(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)
Si aucun entier simple n'est racine, la méthode de la racine évidente ne s'applique pas. On peut alors tenter une factorisation par groupement ou utiliser les formules remarquables.
Entre deux points a et b (avec b ≠ a), le taux de variation de f mesure la variation moyenne de f sur l'intervalle [a ; b]. Il correspond au coefficient directeur de la droite sécante passant par les points (a, f(a)) et (b, f(b)).
τ = [f(b) − f(a)] / (b − a)En posant b = a + h, on peut aussi écrire :
τ = [f(a+h) − f(a)] / hUne fonction f est dérivable en un point a si le taux de variation admet une limite finie quand h → 0 :
f'(a) = lim [f(a+h) − f(a)] / h quand h → 0Cette limite s'appelle le nombre dérivé de f en a. Géométriquement, c'est le passage de la sécante à la tangente quand b se rapproche de a.
Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. L'équation de cette tangente est :
y = f'(a)(x − a) + f(a)Montrer que f(x) = x² est dérivable en a = 2
[f(2+h) − f(2)] / h = [(2+h)² − 4] / h = [4 + 4h + h² − 4] / h
= (4h + h²) / h = 4 + h → 4 quand h → 0
Donc f'(2) = 4 et la tangente en x=2 a pour équation : y = 4x − 4
La dérivée d'une constante est toujours nulle.
On abaisse l'exposant et on multiplie. Valable pour tout n réel.
La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.
On sort la constante multiplicative devant la dérivée.
Règle du produit : dérivée du premier × second + premier × dérivée du second.
Règle du quotient. Attention : v ≠ 0 et ne pas inverser l'ordre au numérateur.
Valable pour x > 0.
L'exponentielle est sa propre dérivée. Et (eᵘ)' = u'·eᵘ.
k est une constante, v une fonction dérivable. Valable si v ≠ 0 sur le domaine.
k est une constante non nulle. On divise simplement la dérivée de u par k.
Valable pour u > 0 sur le domaine de définition. Cas particulier : (√x)' = 1/(2√x).
Toujours préciser le domaine de définition !
Avant d'écrire la dérivée d'une fonction, l'élève doit systématiquement indiquer :
« Pour tout x appartenant au domaine de définition de f… »
Exemples concrets :
Oublier de préciser le domaine est une erreur systématiquement pénalisée en évaluation !
f(x) = (2x + 1)(x² − 3)
u = 2x+1 → u' = 2 | v = x²−3 → v' = 2x
f'(x) = 2(x²−3) + (2x+1)(2x) = 2x²−6 + 4x²+2x = 6x² + 2x − 6
g(x) = (x² + 1) / (x − 2)
u = x²+1 → u' = 2x | v = x−2 → v' = 1
g'(x) = [2x(x−2) − (x²+1)·1] / (x−2)²
= [2x²−4x − x²−1] / (x−2)² = (x² − 4x − 1) / (x−2)²
Pour (u/v)', une aide-mémoire : « dérivée du haut × bas moins haut × dérivée du bas, le tout sur le bas au carré ». Et ne jamais oublier v ≠ 0 !
On dit que f admet un maximum local en a si f(a) ≥ f(x) pour tout x voisin de a. On dit que f admet un minimum local en a si f(a) ≤ f(x) pour tout x voisin de a. Un extremum est soit un maximum, soit un minimum.
Plus précisément :
Si f' passe de + à − en a, alors f admet un maximum en a.
Si f' passe de − à + en a, alors f admet un minimum en a.
f(x) = −x² + 4x + 1 → f'(x) = −2x + 4
f'(x) = 0 ⟺ x = 2
f' > 0 sur ]−∞ ; 2[ et f' < 0 sur ]2 ; +∞[
Donc f admet un maximum en x = 2 : f(2) = −4 + 8 + 1 = 5
f'(a) = 0 ne suffit pas à conclure qu'il y a un extremum. Il faut vérifier que f' change bien de signe en a. Exemple : f(x) = x³ → f'(0) = 0 mais pas d'extremum.
La dérivée est constante : f'(x) = a. Le tableau de variations dépend du signe de a.
Pour f(x) = ax + b, pour tout x appartenant à ℝ :
En −∞ : signe contraire de a | En +∞ : signe de a| x | −∞ | +∞ | |
|---|---|---|---|
| f'(x) = a | + | ||
| f(x) | −∞ | ↗ | +∞ |
En −∞ : signe contraire de a (−) → valeur −∞ | En +∞ : signe de a (+) → valeur +∞
| x | −∞ | +∞ | |
|---|---|---|---|
| f'(x) = a | − | ||
| f(x) | +∞ | ↘ | −∞ |
En −∞ : signe contraire de a (+) → valeur +∞ | En +∞ : signe de a (−) → valeur −∞
1. Calculer f'(x)
2. Résoudre f'(x) = 0 pour trouver les valeurs critiques
3. Dresser le tableau de signes de f'(x)
4. En déduire les variations de f(x) : ↗ où f' > 0, ↘ où f' < 0
f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2 — Pour tout x ∈ ℝ
Étape 1 : f'(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x² − 2x − 3)
Étape 2 : x² − 2x − 3 = 0 → Δ = 4 + 12 = 16 → x₁ = −1, x₂ = 3
Étape 3 : f'(x) = 3(x+1)(x−3)
Tableau de signes de f'(x) :
On étudie le signe de chaque facteur séparément, puis on fait le produit des signes.
| x | −∞ | −1 | 3 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x + 1 | − | 0 | + | + | + | ||
| x − 3 | − | − | − | 0 | + | ||
| 3 (constante) | + | + | + | + | + | ||
| f'(x) = 3(x+1)(x−3) | + | 0 | − | 0 | + |
(−)×(−)×(+) = (+) | (+)×(−)×(+) = (−) | (+)×(+)×(+) = (+)
Tableau de variations de f(x) :
| x | −∞ | −1 | 3 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | − | 0 | + | ||
| f(x) | −∞ | ↗ | 7 | ↘ | −25 | ↗ | +∞ |
f(−1) = −1−3+9+2 = 7 (maximum local) | f(3) = 27−27−27+2 = −25 (minimum local)
Équations du second degré — Résoudre dans ℝ :
Factorisation :
Dériver les fonctions suivantes :
Tableau de variations complet :