Fiche de révision · Conditionnelles · Espérance · Variance · Écart-type
La probabilité de A sachant B (avec P(B) > 0) est :
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)Formule de la probabilité d'une intersection.
Symétrique : on peut choisir le conditionnement dans les deux sens.
Probabilité de l'événement contraire.
Si A et B sont indépendants, P(A|B) = P(A).
L'arbre permet de visualiser les événements successifs. On multiplie le long des branches et on additionne les chemins pour un même résultat.
Un sac contient 3 boules rouges et 2 bleues. On tire 2 boules sans remise.
P(au moins une rouge) = 6/20 + 6/20 + 6/20 = 18/20 = 9/10
Si B₁, B₂, …, Bₙ forment une partition de l'univers (disjoints et d'union = Ω), alors :
P(A) = P(A|B₁)·P(B₁) + P(A|B₂)·P(B₂) + … + P(A|Bₙ)·P(Bₙ)Usine A produit 60 % des pièces, taux de défaut 2 %. Usine B produit 40 %, taux 5 %.
P(défaut) = 0,02 × 0,6 + 0,05 × 0,4 = 0,012 + 0,020 = 0,032
Une variable aléatoire X associe à chaque issue de l'expérience une valeur numérique. Sa loi de probabilité est le tableau de ses valeurs et probabilités associées.
| X | x₁ | x₂ | … | xₙ |
|---|---|---|---|---|
| P(X = xᵢ) | p₁ | p₂ | … | pₙ |
Condition : p₁ + p₂ + … + pₙ = 1
L'espérance de X est la valeur moyenne que prend X sur un grand nombre d'expériences :
E(X) = x₁·p₁ + x₂·p₂ + … + xₙ·pₙ = Σ xᵢ·pᵢOn sort le coefficient a et la constante b sort telle quelle.
L'espérance est linéaire, valable même si X et Y ne sont pas indépendantes.
X prend les valeurs 1, 2, 3 avec probabilités 1/2, 1/3, 1/6.
E(X) = 1×(1/2) + 2×(1/3) + 3×(1/6) = 1/2 + 2/3 + 1/2 = 5/3 ≈ 1,67
E(2X + 1) = 2 × (5/3) + 1 = 10/3 + 1 = 13/3 ≈ 4,33
La variance mesure la dispersion autour de l'espérance.
Formule de définition :
V(X) = p₁(x₁−E(X))² + p₂(x₂−E(X))² + … + pₙ(xₙ−E(X))² = Σ pᵢ(xᵢ−E(X))²Formule pratique (calcul rapide) :
V(X) = E(X²) − [E(X)]²L'écart-type est la racine carrée de la variance :
σ(X) = √V(X)Les deux formules sont équivalentes. La première est la définition, la seconde est plus rapide en pratique.
La constante b disparaît (translation), et a est mis au carré.
L'écart-type est multiplié par |a| (valeur absolue de a).
Dans V(aX + b) = a²V(X), la constante b disparaît car une translation ne change pas la dispersion. En revanche pour E(aX + b) = aE(X) + b, le b reste.
X : valeurs 1, 2, 3 avec proba 1/2, 1/3, 1/6. On a E(X) = 5/3.
E(X²) = 1²×(1/2) + 2²×(1/3) + 3²×(1/6) = 1/2 + 4/3 + 3/2 = 10/3
V(X) = 10/3 − (5/3)² = 10/3 − 25/9 = 30/9 − 25/9 = 5/9
σ(X) = √(5/9) = √5 / 3 ≈ 0,745
V(3X + 2) = 3² × (5/9) = 9 × 5/9 = 5
Probabilités conditionnelles :
Variable aléatoire : On lance deux dés équilibrés. X est le maximum des deux résultats.
Espérance et variance :