Suites Numériques — Fiche Révision Première

01 Définitions générales

Une suite numérique est une fonction définie sur ℕ (ou une partie de ℕ) à valeurs dans ℝ. On note ses termes u₀, u₁, u₂, …, uₙ, …

Explicite : on exprime uₙ directement en fonction de n

uₙ = f(n) (ex : uₙ = 2n + 1)

Par récurrence : on donne u₀ et une relation entre uₙ₊₁ et uₙ

uₙ₊₁ = g(uₙ) (ex : uₙ₊₁ = 2uₙ + 1)

02 Suite arithmétique

Une suite (uₙ) est arithmétique de raison r si :

uₙ₊₁ = uₙ + r pour tout n ∈ ℕ

uₙ = u₀ + n·r

Terme général à partir du premier terme u₀.

uₙ = uₚ + (n−p)·r

Terme général à partir de n'importe quel terme uₚ.

r = uₙ₊₁ − uₙ

La raison est la différence entre deux termes consécutifs.

Sₙ = (n+1)·(u₀ + uₙ)/2

Somme des (n+1) premiers termes : u₀ + u₁ + … + uₙ.

Variations d'une suite arithmétique

Si r > 0 : suite strictement croissante
Si r < 0 : suite strictement décroissante
Si r = 0 : suite constante

u₀ = 3 et r = 5 → uₙ = 3 + 5n

u₁₀ = 3 + 50 = 53

Somme u₀ + … + u₁₀ = 11 × (3 + 53)/2 = 11 × 28 = 308

03 Suite géométrique

Une suite (uₙ) est géométrique de raison q (q ≠ 0) si :

uₙ₊₁ = uₙ × q pour tout n ∈ ℕ

uₙ = u₀ × qⁿ

Terme général à partir du premier terme u₀.

uₙ = uₚ × q^(n−p)

Terme général à partir de n'importe quel terme uₚ.

q = uₙ₊₁ / uₙ

La raison est le quotient de deux termes consécutifs.

Sₙ = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q)

Somme des (n+1) premiers termes, valable si q ≠ 1.

Variations d'une suite géométrique (u₀ > 0)

Si q > 1 : suite strictement croissante
Si 0 < q < 1 : suite strictement décroissante (tend vers 0)
Si q = 1 : suite constante
Si q < 0 : suite alternée (change de signe)

u₀ = 2 et q = 3 → uₙ = 2 × 3ⁿ

u₄ = 2 × 81 = 162

Somme u₀ + … + u₄ = 2 × (1 − 3⁵)/(1 − 3) = 2 × (−242)/(−2) = 242

Ne pas confondre uₙ = u₀ + n·r (arithmétique) et uₙ = u₀ × qⁿ (géométrique). L'un additionne, l'autre multiplie.

04 Sens de variation — méthode générale

Pour étudier les variations d'une suite quelconque, on calcule uₙ₊₁ − uₙ :

uₙ₊₁ − uₙ > 0 ⟹ suite croissante uₙ₊₁ − uₙ < 0 ⟹ suite décroissante

uₙ = n² − 3n + 1

uₙ₊₁ − uₙ = (n+1)² − 3(n+1) + 1 − (n² − 3n + 1)

= n² + 2n + 1 − 3n − 3 + 1 − n² + 3n − 1 = 2n − 2

2n − 2 > 0 ⟺ n > 1 → suite croissante pour n ≥ 2, décroissante pour n = 0 et n = 1

Toujours préciser pour tout n ∈ ℕ (ou n ≥ n₀ selon le contexte) avant d'écrire le résultat.

05 Limites des suites

lim qⁿ = 0 si |q| < 1

Toute suite géométrique de raison |q| < 1 tend vers 0.

lim qⁿ = +∞ si q > 1

Suite géométrique de raison q > 1 diverge vers +∞.

lim n = +∞

Suite arithmétique de raison r > 0 diverge vers +∞.

lim (1/nᵏ) = 0

Pour tout k > 0, la suite 1/nᵏ tend vers 0.

06 Exercices d'entraînement

Suite arithmétique :

u₀ = 7, r = −3. Calculer u₁₀ et la somme u₀ + … + u₁₀.
u₃ = 11 et u₇ = 27. Trouver r, puis u₀ et la formule explicite de uₙ.
Montrer que (uₙ) définie par uₙ = 5n − 2 est arithmétique. Donner sa raison.

Suite géométrique :

u₀ = 4, q = 1/2. Calculer u₆ et la somme u₀ + … + u₆.
u₂ = 12 et u₅ = 96. Trouver q, puis u₀ et la formule explicite.
Un capital de 1 000 € est placé à 3 % par an. Exprimer Cₙ en fonction de n. Après combien d'années dépasse-t-il 1 500 € ?

Sens de variation :

Étudier les variations de uₙ = 3n² − 2n + 1 en calculant uₙ₊₁ − uₙ.
uₙ = (2/3)ⁿ : donner le sens de variation et la limite.
uₙ = n/(n+1) : montrer que la suite est croissante et majorée par 1.