Théorème de Thalès & sa réciproque
Soit un triangle OAB. Si une droite coupe les côtés OA en M et OB en N, et si (MN) ∥ (AB), alors :
OM/OA = ON/OB = MN/ABCes trois rapports sont égaux (les triangles sont en réduction ou agrandissement).
Attention : les points doivent être alignés dans le bon ordre : O, M, A et O, N, B.
Si dans un triangle OAB, M est sur OA, N est sur OB, et si :
OM/OA = ON/OBalors (MN) ∥ (AB).
La réciproque permet de prouver que deux droites sont parallèles en calculant des rapports.
- Dans un triangle OAB, on a OM = 3 cm, OA = 9 cm, ON = 4 cm et OB = 12 cm. (MN) est-elle parallèle à (AB) ? Justifier.
- On sait que (MN) ∥ (AB), OM = 5 cm, OA = 8 cm et MN = 6 cm. Calculer AB et ON si OB = 12 cm.
- Dans un triangle OAB, OA = 15 cm, OM = 6 cm, OB = 20 cm. Calculer ON sachant que (MN) ∥ (AB), puis en déduire MN si AB = 10 cm.
- On donne OM = 4, MA = 6, ON = 5, NB = 7,5. Vérifier si (MN) ∥ (AB). calcule OM/OA et ON/OB
Théorème de Pythagore & réciproque
Dans un triangle rectangle en C, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :
AB² = AC² + BC²AB est l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit, toujours le plus long).
Pour trouver un côté :
Si dans un triangle ABC : AB² = AC² + BC², alors le triangle est rectangle en C (angle droit en face du plus grand côté).
La réciproque permet de démontrer qu'un triangle est rectangle.
Vérifier : grand côté² = somme des carrés des deux petits côtés- Un triangle a pour côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm. Est-il rectangle ? Justifier avec la réciproque.
- Dans un triangle rectangle en A, AB = 5 cm et AC = 12 cm. Calculer BC.
- L'hypoténuse mesure 13 cm et un côté mesure 5 cm. Calculer le troisième côté.
- Un écran de télévision mesure 80 cm de large et 45 cm de haut. Quelle est la longueur de sa diagonale ? (arrondir au mm)
- Un triangle a pour côtés 7, 10 et 12 cm. Est-il rectangle ? calcule 12² et 7²+10²
Trigonométrie dans le triangle rectangle
Dans un triangle rectangle en C, pour l'angle α en A :
Moyen mnémotechnique :
CAH · SOH · TOA
Cos=Adj/Hyp · Sin=Opp/Hyp · Tan=Opp/Adj
| Angle α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| cos(α) | 1 | √3/2 ≈ 0,866 | √2/2 ≈ 0,707 | 1/2 = 0,5 | 0 |
| sin(α) | 0 | 1/2 = 0,5 | √2/2 ≈ 0,707 | √3/2 ≈ 0,866 | 1 |
| tan(α) | 0 | 1/√3 ≈ 0,577 | 1 | √3 ≈ 1,732 | indéfini |
On connaît un angle et un côté. On choisit la bonne formule :
On connaît deux côtés. On utilise la fonction inverse (arc) sur la calculatrice :
α = cos⁻¹(adj/hyp) → touche [cos⁻¹] ou [acos] ou [SHIFT cos] α = sin⁻¹(opp/hyp) → touche [sin⁻¹] ou [asin] ou [SHIFT sin] α = tan⁻¹(opp/adj) → touche [tan⁻¹] ou [atan] ou [SHIFT tan]- Dans un triangle rectangle en C, l'angle en A est 35° et l'hypoténuse AB = 10 cm. Calculer AC et BC. (arrondir au mm)
- Dans un triangle rectangle en B, AB = 8 cm et BC = 6 cm. Calculer l'angle en A. tan(A) = BC/AB
- L'angle en A est 52° et le côté adjacent mesure 7 cm. Calculer l'hypoténuse.
- Un câble tendu depuis le sommet d'un poteau de 6 m rejoint le sol à 4,5 m du pied. Quel est l'angle d'inclinaison du câble avec le sol ?
- Dans un triangle rectangle, sin(α) = 0,6 et l'hypoténuse = 15 cm. Calculer le côté opposé à α.
Calcul d'aires
| Figure | Formule aire | Périmètre |
|---|---|---|
| Carré (côté c) | c² | 4c |
| Rectangle (L × l) | L × l | 2(L+l) |
| Triangle (base b, haut. h) | (b × h) / 2 | a+b+c |
| Trapèze (bases B, b, haut. h) | (B+b) × h / 2 | — |
| Parallélogramme (base b, haut. h) | b × h | 2(a+b) |
| Disque (rayon r) | π × r² | 2πr |
- Calculer l'aire d'un rectangle de 12 cm sur 7,5 cm.
- Un triangle a une base de 9 cm et une hauteur de 6 cm. Quelle est son aire ?
- Un trapèze a pour bases 8 cm et 5 cm et une hauteur de 4 cm. Calculer son aire.
- Un disque a un diamètre de 14 cm. Calculer son aire et son périmètre. (arrondir au cm²)
- Un carré et un rectangle ont la même aire. Le rectangle mesure 18 cm × 8 cm. Quel est le côté du carré ? côté = √Aire
Calcul de volumes
| Solide | Formule volume | Remarque |
|---|---|---|
| Cube (arête a) | V = a³ | 6 faces carrées identiques |
| Pavé droit (L×l×h) | V = L × l × h | = Aire base × hauteur |
| Prisme droit | V = Aire base × h | base = polygone quelconque |
| Cylindre (r, h) | V = π × r² × h | base = disque |
| Cône (r, h) | V = (1/3) × π × r² × h | = 1/3 du cylindre |
| Pyramide | V = (1/3) × Aire base × h | = 1/3 du prisme |
| Boule (r) | V = (4/3) × π × r³ | Surface : 4πr² |
- Un cube a une arête de 4 cm. Calculer son volume.
- Un pavé droit mesure 8 cm × 5 cm × 3 cm. Calculer son volume.
- Un cylindre a un rayon de 3 cm et une hauteur de 10 cm. Calculer son volume. (arrondir au cm³)
- Un cône a un rayon de base 5 cm et une hauteur de 12 cm. Calculer son volume.
- Une boule a un diamètre de 6 cm. Calculer son volume. r = d/2 = 3 cm
- Un récipient cylindrique de rayon 4 cm contient de l'eau jusqu'à 8 cm de hauteur. Quel volume d'eau contient-il ?
Calcul littéral — Identités remarquables
a² + 2ab + b²
a² − 2ab + b²
a² − b²
Développement : on part de la forme factorisée → on développe.
Factorisation : on part de la forme développée → on factorise.
(x + 3)²
= x² + 2×x×3 + 3² = x² + 6x + 9(2x − 5)²
= 4x² − 2×2x×5 + 25 = 4x² − 20x + 25(x + 4)(x − 4)
= x² − 16(3x + 1)(3x − 1)
= 9x² − 1x² + 10x + 25
= (x + 5)²x² − 9
= (x + 3)(x − 3)4x² − 12x + 9
= (2x − 3)²25 − x²
= (5 + x)(5 − x)- Développer : (x + 7)²
- Développer : (3x − 2)²
- Développer : (x + 6)(x − 6)
- Développer et réduire : (2x + 1)² − (x − 3)²
- Factoriser : x² − 4
- Factoriser : x² + 8x + 16
- Factoriser : 9x² − 30x + 25 pense à (3x − ?)²
- Calculer astucieusement : 99² = (100 − 1)² = ?
Équations & Équations-produits
Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de x qui rend l'égalité vraie.
Règle : on peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des deux côtés (sauf par 0).
Exemple : 3x + 5 = 14
3x = 14 − 5 = 9x = 9 ÷ 3 = 3
Exemple : 2(x − 3) = x + 1
2x − 6 = x + 1x = 7
A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0
Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
On résout chaque cas séparément → on obtient généralement deux solutions.
Exemple 1 : (x − 2)(x + 5) = 0
x − 2 = 0 → x = 2x + 5 = 0 → x = −5
Solutions : {2 ; −5}
Exemple 2 : (3x − 6)(x + 1) = 0
3x − 6 = 0 → x = 2x + 1 = 0 → x = −1
Solutions : {2 ; −1}
Exemple 3 (après factorisation) : x² − 9 = 0
(x + 3)(x − 3) = 0x = −3 ou x = 3
Exemple 4 : x² + 6x + 9 = 0
(x + 3)² = 0x + 3 = 0 → x = −3 (solution double)
- Mettre tout d'un côté : A×B = C → développer, réorganiser → A×B − C = 0
- Factoriser si possible (identité remarquable, facteur commun…)
- Appliquer la règle du produit nul : résoudre chaque facteur = 0
- Vérifier en remplaçant x par les solutions dans l'équation de départ
- Résoudre : (x − 4)(x + 7) = 0
- Résoudre : (2x + 6)(x − 3) = 0
- Résoudre : x² − 25 = 0 factorise avec a²−b²
- Résoudre : x² + 10x + 25 = 0 identité remarquable
- Résoudre : x(x − 5) = 0
- Résoudre : (x + 2)² = 9 développe ou pose u = x+2
- Un rectangle a pour longueur (x + 3) cm et pour largeur (x − 1) cm. Son aire est 0. Quelles valeurs peut prendre x ?
- Résoudre : 2x² − 8 = 0 divise par 2, puis factorise