Cours complet · Première approche
La fonction exponentielle est l'une des fonctions les plus fondamentales de l'analyse mathématique. Elle modélise des phénomènes de croissance ou décroissance proportionnelle : populations, radioactivité, intérêts composés, propagation d'une épidémie…
Son intérêt majeur réside dans une propriété remarquable : elle est sa propre dérivée. Cette caractéristique en fait la clef de voûte des équations différentielles les plus courantes.
Si une grandeur croît à une vitesse proportionnelle à sa valeur actuelle, alors cette grandeur est modélisée par une fonction exponentielle.
Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur ℝ vérifiant les deux conditions :
f'(x) = f(x) et f(0) = 1Cette fonction est appelée la fonction exponentielle, notée exp ou eˣ.
On pose e = exp(1). C'est un nombre irrationnel dont la valeur approchée est :
e ≈ 2,71828 18284 59045...Par convention, on note exp(x) = eˣ pour tout réel x. Cette notation est cohérente avec les règles de calcul des puissances que l'on a déjà.
Pour tous réels a et b :
Le produit de deux exponentielles est l'exponentielle de la somme des exposants.
Le quotient de deux exponentielles est l'exponentielle de la différence des exposants.
La puissance n d'une exponentielle est l'exponentielle du produit n×a.
L'inverse de eˣ est e⁻ˣ. En particulier, eˣ > 0 pour tout réel x.
La valeur de la fonction en 0 est toujours 1, quelle que soit la base.
La fonction exponentielle est strictement positive sur tout ℝ, elle ne s'annule jamais.
Attention ! En général : eᵃ⁺ᵇ ≠ eᵃ + eᵇ et (eᵃ)ᵇ ≠ eᵃᵇ sauf si on utilise la bonne règle. Ne confondez pas eˣ⁺ʸ (exponentielle d'une somme) et eˣ · eʸ (produit d'exponentielles) — ils sont égaux ! Mais ce n'est pas la même chose que eˣ + eʸ.
Par définition même de la fonction exponentielle :
(eˣ)' = eˣSi u est une fonction dérivable sur un intervalle, alors :
(eᵘ)' = u' × eᵘExemple : si f(x) = e²ˣ⁺³, alors f'(x) = 2 · e²ˣ⁺³
Puisque eˣ > 0 pour tout réel x, la dérivée (eˣ)' = eˣ est toujours strictement positive. Donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
| x | −∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) = eˣ | + | 1 | + | ||
| f(x) = eˣ | → 0 | ↗ | 1 | ↗ | → +∞ |
L'axe des abscisses (y = 0) est une asymptote horizontale à la courbe en −∞. Il n'y a pas d'asymptote en +∞ : la fonction croît indéfiniment.
Autrement dit : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance en +∞, et toute puissance l'emporte sur l'exponentielle en −∞.
La courbe passe par (0 ; 1) et admet y = 0 comme asymptote horizontale en −∞.
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| eˣ (exact) | e⁻³ | e⁻² | e⁻¹ | 1 | e | e² | e³ |
| eˣ (approx.) | 0,050 | 0,135 | 0,368 | 1,000 | 2,718 | 7,389 | 20,09 |
Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante et ne s'annule jamais, on dispose de règles simples :
Équations :
eᵃ = eᵇ ⟺ a = bInéquations :
eᵃ < eᵇ ⟺ a < bRésoudre : e²ˣ⁻¹ = e³
e²ˣ⁻¹ = e³ ⟺ 2x − 1 = 3 ⟺ 2x = 4 ⟺ x = 2
Simplifier les expressions suivantes :
Dériver les fonctions suivantes :
Résoudre dans ℝ :
Application : Une culture bactérienne contient N(t) = 1000 · e^{0,3t} bactéries, où t est en heures.