📗 Niveau Seconde

Fonctions — Image, Antécédent & Tableau de signes

Lire une fonction, trouver image et antécédent, montrer qu'un point appartient à une courbe.

1. Image et antécédent
Image f(a) est l'image de a par f. On remplace x par a dans la formule. Sur la courbe : partir de l'axe des x, aller sur la courbe, lire l'ordonnée.
Antécédent a est un antécédent de b si f(a) = b. Sur la courbe : partir de l'axe des y, aller sur la courbe, lire l'abscisse.
✏️ Exemple

f(x) = 2x² − 3x + 1

Image de 2 : f(2) = 2(4) − 3(2) + 1 = 8 − 6 + 1 = 3

Antécédent de 0 : Résoudre f(x) = 0 : 2x² − 3x + 1 = 0

Δ = 9 − 8 = 1  →  x = (3 ± 1) / 4

→ x = 1  ou  x = 1/2

→ Les antécédents de 0 sont 1/2 et 1

2. Un point appartient-il à la courbe ?
📐 Méthode — Vérifier si M(a, b) ∈ Cf
  1. Calculer f(a) — remplacer x par l'abscisse du point
  2. Comparer f(a) avec b (l'ordonnée du point)
  3. Si f(a) = b → M ∈ Cf  |  Si f(a) ≠ b → M ∉ Cf
✏️ Exemple

f(x) = x² − 2. Les points A(2, 2) et B(1, 0) appartiennent-ils à Cf ?

f(2) = 4 − 2 = 2 = ordonnée de A → A ∈ Cf ✓

f(1) = 1 − 2 = −1 ≠ 0 = ordonnée de B → B ∉ Cf ✗

3. Tableau de signes
📐 Méthode — Dresser un tableau de signes
  1. Résoudre f(x) = 0 → trouver les racines
  2. Placer les racines sur un axe numérique
  3. Tester le signe de f(x) dans chaque intervalle (choisir une valeur test)
  4. Remplir le tableau : signe dans chaque intervalle, 0 aux racines
✏️ Exemple — f(x) = (x − 1)(x + 3)

Racines : x = 1 et x = −3

Test x = 0 : f(0) = (−1)(3) = −3 < 0 → négatif entre −3 et 1

x−∞−31+∞
(x − 1)−−−0+
(x + 3)−0+++
f(x)+0−0+

f(x) > 0 sur ]−∞, −3[ ∪ ]1, +∞[

f(x) < 0 sur ]−3, 1[

4. Équations et inéquations
📐 Résoudre une inéquation f(x) > 0
  1. Dresser le tableau de signes de f(x)
  2. Lire les intervalles où f(x) > 0
✏️ Exemple — Résoudre x² − x − 6 > 0

Factorisation : x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2)

Racines : x = 3 et x = −2

x−∞−23+∞
f(x)+0−0+

Solution : x ∈ ]−∞, −2[ ∪ ]3, +∞[

✏️ Exemple — Équation du second degré

Résoudre 2x² + 5x − 3 = 0

Δ = 25 + 24 = 49  →  √Δ = 7

x₁ = (−5 + 7) / 4 = 2/4 = 1/2

x₂ = (−5 − 7) / 4 = −12/4 = −3

💡 Pour le tableau de signes d'un produit : même signe × même signe = +  |  signes différents = −. Règle des signes !

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