📘 Première Spé Maths

Probabilités Conditionnelles

Probabilité conditionnelle, indépendance, formule des probabilités totales.

1. Probabilité conditionnelle

DéfinitionLa probabilité de A sachant B (notée P(A|B)) est la probabilité que A se réalise, sachant que B s'est déjà réalisé. On exige P(B) > 0.

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

✏️ Exemple

On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. A = "carte rouge", B = "figure" (valet, dame, roi).

P(B) = 12/52 = 3/13

P(A ∩ B) = 6/52 (6 figures rouges)

P(A|B) = (6/52) / (12/52) = 6/12 = 1/2

2. Formule des probabilités composées

P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B) = P(A) × P(B|A)

✏️ Exemple — Arbre de probabilités

Urne : 3 boules rouges, 2 bleues. On tire 2 boules sans remise.

P(R₁) = 3/5 | P(B₁) = 2/5

P(R₂|R₁) = 2/4 = 1/2 | P(B₂|R₁) = 2/4 = 1/2

P(R₂|B₁) = 3/4 | P(B₂|B₁) = 1/4

P(R₁ ∩ R₂) = 3/5 × 1/2 = 3/10

P(R₁ ∩ B₂) = 3/5 × 1/2 = 3/10

3. Formule des probabilités totales

Partition de l'universSi B₁, B₂, ..., Bₙ forment une partition de Ω (événements incompatibles dont la réunion est Ω), alors :

P(A) = P(A|B₁)×P(B₁) + P(A|B₂)×P(B₂) + ... + P(A|Bₙ)×P(Bₙ)

✏️ Exemple complet

Une usine a 2 machines. M₁ produit 60% des pièces, M₂ produit 40%. M₁ produit 3% de défectueux, M₂ produit 5%.

P(D) = P(D|M₁)×P(M₁) + P(D|M₂)×P(M₂)

P(D) = 0,03 × 0,6 + 0,05 × 0,4 = 0,018 + 0,020 = 0,038 = 3,8%

4. Événements indépendants

DéfinitionA et B sont indépendants si : P(A ∩ B) = P(A) × P(B), ce qui équivaut à P(A|B) = P(A).

✏️ Exemple

On lance 2 dés. A = "dé 1 donne 6", B = "dé 2 donne 6".

P(A) = 1/6, P(B) = 1/6

P(A ∩ B) = 1/36 = (1/6)×(1/6) = P(A)×P(B) → A et B sont indépendants

💡 Méthode arbre : multiplier le long des branches pour P(A ∩ B), additionner les branches qui mènent à A pour P(A).