1. Définitions
Vecteur
Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme (longueur).
On le note AB où A est l'origine et B l'extrémité.
Vecteurs égaux
AB = CD si et seulement si les deux segments sont
parallèles, de même sens et de même longueur (ABDC est un parallélogramme).
Vecteur nul
AA est le vecteur nul, noté 0. Sa norme est 0.
✏️ Relation de Chasles
Pour tous points A, B, C :
AB + BC = AC
Exemple : AM + MB = AB
(on passe de A à B via M)
2. Coordonnées d'un vecteur
Coordonnées
Si A(xA, yA) et B(xB, yB), alors
AB a pour coordonnées :
AB = ( xB − xA ; yB − yA )
Norme : | AB | = √( (xB − xA)² + (yB − yA)² )
✏️ Exemple
A(2, 1) et B(5, 4).
AB = (5−2 ; 4−1) = (3 ; 3)
|AB| = √(9 + 9) = √18 = 3√2
📐 Opérations sur les vecteurs
-
Addition :
u(x₁, y₁) + v(x₂, y₂)
= (x₁ + x₂ ; y₁ + y₂)
-
Multiplication par un scalaire :
k × u(x, y) = (k·x ; k·y)
-
Vecteur opposé :
−u(x, y) = (−x ; −y)
3. Colinéarité de vecteurs
Vecteurs colinéaires
u et v sont colinéaires s'il existe un réel k
tel que v = k · u.
Géométriquement, ils sont parallèles (ou l'un est nul).
u(a, b) et v(c, d) colinéaires
⟺ a·d − b·c = 0
✏️ Exemple — Test de colinéarité
u(2, 3) et v(4, 6). Colinéaires ?
a·d − b·c = 2×6 − 3×4 = 12 − 12 = 0 → colinéaires ✓
(en effet v = 2 · u)
✏️ Exemple — Points alignés
A(1, 2), B(3, 5), C(5, 8). A, B, C sont-ils alignés ?
AB = (2, 3) |
AC = (4, 6)
2×6 − 3×4 = 12 − 12 = 0
→ AB et AC colinéaires
→ A, B, C alignés ✓