📘 Première Spé Maths

Dérivées & Étude de Fonctions

Formules de dérivation, équation de la tangente et étude des variations.

1. Formules de dérivation

📋 Règles de calcul

Somme & scalaire (u + v)' = u' + v' | (k·u)' = k·u'

Produit (u × v)' = u'·v + u·v'

Quotient (u/v)' = (u'·v − u·v') / v²

Composée (u ∘ v)' = v' × u'(v)

✏️ Exemples de calcul

f(x) = 3x² − 5x + 2 → f'(x) = 6x − 5

g(x) = (2x+1)⁴ → g'(x) = 4(2x+1)³ × 2 = 8(2x+1)³

h(x) = x·e^x → h'(x) = 1·e^x + x·e^x = e^x(1+x)

k(x) = sin(3x) → k'(x) = 3cos(3x)

2. Équation de la tangente

Définition La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est la droite de pente f'(a) passant par le point (a, f(a)).

Équation de la tangente en x = a y = f'(a) · (x − a) + f(a)

📐 Méthode — 4 étapes

✏️ Exemple

f(x) = x² − 3x + 1. Tangente en x = 2.

f(2) = 4 − 6 + 1 = −1

f'(x) = 2x − 3 → f'(2) = 4 − 3 = 1

Tangente : y = 1·(x − 2) + (−1) = x − 3 → y = x − 3

3. Étude de variation — Méthode complète

📐 Les 4 étapes obligatoires

Calculer f'(x) — dériver la fonction
Résoudre f'(x) = 0 — trouver les points critiques
Dresser le tableau de signe de f'(x) — étudier le signe entre les racines
Déduire le tableau de variation de f — f croît là où f' > 0, décroît là où f' < 0

✏️ Exemple complet — f(x) = x³ − 3x + 2 sur ℝ

Étape 1 :

f'(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x−1)(x+1)

Étape 2 :

f'(x) = 0 → x = −1 ou x = 1

Étape 3 — Tableau de signe de f'(x) :

Étape 4 — Tableau de variation :

f(−1) = −1+3+2 = 4 (maximum local)

f(1) = 1−3+2 = 0 (minimum local)

x	−∞		−1		1		+∞
f'(x)		+	0	−	0	+
f(x)	−∞	↗	4	↘	0	↗	+∞

💡 Retenir : f' > 0 → f croît (↗) | f' < 0 → f décroît (↘) | f' = 0 → extremum possible