12 exercices types d'évaluation. Pense à faire les exercices avant de voir les corrections !
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
a) f(x) = 3x² − 5x + 2
b) g(x) = 4x³ − 2x + 7
c) h(x) = √x + 1/x
d) k(x) = 2eˣ − 3ln(x)
a) f'(x) = 6x − 5
b) g'(x) = 12x² − 2
c) h'(x) = 1/(2√x) − 1/x²
d) k'(x) = 2eˣ − 3/x
a) f(x) = x·eˣ
b) g(x) = (2x+1)(x² − 3)
c) h(x) = x²·ln(x)
a) f'(x) = 1·eˣ + x·eˣ = eˣ(1+x)
b) g'(x) = 2(x²−3) + (2x+1)·2x = 2x²−6+4x²+2x = 6x²+2x−6
c) h'(x) = 2x·ln(x) + x²·(1/x) = 2x·ln(x) + x = x(2ln(x)+1)
a) f(x) = (3x+1)⁵
b) g(x) = e^(2x−1)
c) h(x) = ln(x²+1)
d) k(x) = √(2x+3)
a) f'(x) = 5(3x+1)⁴ × 3 = 15(3x+1)⁴
b) g'(x) = 2 × e^(2x−1) = 2e^(2x−1)
c) h'(x) = 2x / (x²+1) = 2x/(x²+1)
d) k'(x) = 2 / (2√(2x+3)) = 1/√(2x+3)
Soit f(x) = x² − 4x + 3.
a) Calculer l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse x = 1.
b) Calculer l'équation de la tangente au point d'abscisse x = 3.
f'(x) = 2x − 4
a) f(1) = 1−4+3 = 0 | f'(1) = −2
Tangente : y = −2(x−1) + 0 = y = −2x + 2
b) f(3) = 9−12+3 = 0 | f'(3) = 2
Tangente : y = 2(x−3) + 0 = y = 2x − 6
Soit f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 4 définie sur ℝ.
a) Calculer f'(x).
b) Résoudre f'(x) = 0.
c) Dresser le tableau de variation complet de f.
a) f'(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x²−3x+2) = 6(x−1)(x−2)
b) f'(x) = 0 → x = 1 ou x = 2
c) f(1) = 2−9+12−4 = 1 (maximum local)
f(2) = 16−36+24−4 = 0 (minimum local)
| x | −∞ | 1 | 2 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | − | 0 | + | ||
| f(x) | −∞ | ↗ | 1 | ↘ | 0 | ↗ | +∞ |
Soit f(x) = −x² + 6x − 5 sur ℝ.
a) Étudier les variations de f et déterminer son maximum.
b) Résoudre f(x) ≥ 0.
a) f'(x) = −2x + 6 = 0 → x = 3
f'(x) > 0 pour x < 3, f'(x) < 0 pour x > 3
→ f croît puis décroît. Maximum en x = 3 : f(3) = −9+18−5 = 4
b) f(x) = −(x²−6x+5) = −(x−1)(x−5)
f(x) ≥ 0 ⟺ −(x−1)(x−5) ≥ 0 ⟺ (x−1)(x−5) ≤ 0
Solution : x ∈ [1, 5]
Soit f(x) = xe^(−x) sur ℝ.
a) Calculer f'(x) et la simplifier.
b) Étudier le signe de f'(x) et dresser le tableau de variation de f.
a) f'(x) = 1·e^(−x) + x·(−e^(−x)) = e^(−x)(1−x)
Comme e^(−x) > 0 toujours : signe de f'(x) = signe de (1−x)
b) f'(x) > 0 ⟺ x < 1 | f'(x) = 0 ⟺ x = 1 | f'(x) < 0 ⟺ x > 1
f(1) = 1×e^(−1) = 1/e
| x | −∞ | 1 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | − | ||
| f(x) | −∞ | ↗ | 1/e | ↘ | 0 |
a) f(x) = (x+1)/(x−2) sur ℝ\{2}
b) g(x) = (2x²+1)/eˣ
a) f'(x) = [1·(x−2) − (x+1)·1] / (x−2)²
= (x−2−x−1)/(x−2)² = −3/(x−2)²
f'(x) < 0 pour tout x ≠ 2 → f strictement décroissante sur chaque intervalle.
b) g'(x) = [4x·eˣ − (2x²+1)·eˣ] / e^(2x)
= eˣ(4x−2x²−1)/e^(2x) = (−2x²+4x−1)/eˣ
On veut fabriquer une boîte sans couvercle à base carrée de côté x cm et de hauteur h cm. Le volume doit être 32 cm³.
a) Exprimer h en fonction de x.
b) Exprimer l'aire totale A(x) de la boîte (base + 4 faces) en fonction de x.
c) Déterminer x pour minimiser A(x). Quelle est l'aire minimale ?
a) Volume = x²h = 32 → h = 32/x²
b) A(x) = x² + 4×(x×h) = x² + 4x×(32/x²) = x² + 128/x
c) A'(x) = 2x − 128/x²
A'(x) = 0 → 2x = 128/x² → 2x³ = 128 → x³ = 64 → x = 4
A(4) = 16 + 128/4 = 16 + 32 = 48 cm²
Soit f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1.
a) Déterminer les points de la courbe où la tangente est horizontale.
b) Donner les coordonnées de ces points.
La tangente est horizontale ⟺ f'(x) = 0
f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x²−4x+3) = 3(x−1)(x−3) = 0
x = 1 ou x = 3
f(1) = 1−6+9+1 = 5 → point A(1, 5)
f(3) = 27−54+27+1 = 1 → point B(3, 1)
Soit f(x) = x − ln(x) définie sur ]0, +∞[.
a) Calculer f'(x).
b) Étudier les variations de f et dresser son tableau.
c) En déduire que f(x) ≥ 1 pour tout x > 0 et que ln(x) ≤ x − 1.
a) f'(x) = 1 − 1/x = (x−1)/x
b) f'(x) < 0 pour 0 < x < 1 | f'(x) = 0 pour x = 1 | f'(x) > 0 pour x > 1
Minimum en x = 1 : f(1) = 1 − ln(1) = 1 − 0 = 1
| x | 0 | 1 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | − | 0 | + | ||
| f(x) | +∞ | ↘ | 1 | ↗ | +∞ |
c) Le minimum de f est 1 → f(x) ≥ 1 pour tout x > 0
x − ln(x) ≥ 1 ⟺ ln(x) ≤ x − 1 ✓
Soit f(x) = (x²−x+1)/(x+1) définie sur ℝ\{−1}.
a) Calculer f'(x) et la simplifier.
b) Étudier les variations de f sur ]−1, +∞[.
c) Montrer que la droite y = x−2 est asymptote oblique de Cf.
a) f'(x) = [(2x−1)(x+1) − (x²−x+1)·1] / (x+1)²
= [2x²+2x−x−1−x²+x−1] / (x+1)² = (x²+2x−2) / (x+1)²
Δ = 4+8 = 12 → racines : x = (−2±2√3)/2 = −1±√3
b) Sur ]−1,+∞[ : la racine −1+√3 ≈ 0,73 annule f'.
f décroît sur ]−1, −1+√3[, croît sur ]−1+√3, +∞[.
c) f(x) − (x−2) = (x²−x+1)/(x+1) − (x−2)
= (x²−x+1−(x−2)(x+1))/(x+1) = (x²−x+1−x²+x+2)/(x+1) = 3/(x+1) → 0 quand x→+∞
→ y = x−2 est bien asymptote oblique.