10 exercices progressifs sur la probabilité conditionnelle, les arbres et la formule des probabilités totales.
Dans une classe de 30 élèves, 18 font du sport et 12 font de la musique. 6 font les deux.
a) On choisit un élève au hasard. Calculer P(sport) et P(musique).
b) Calculer la probabilité qu'un élève fasse de la musique sachant qu'il fait du sport.
a) P(sport) = 18/30 = 3/5 | P(musique) = 12/30 = 2/5
b) P(musique ∩ sport) = 6/30 = 1/5
P(musique | sport) = P(musique ∩ sport) / P(sport) = (1/5) / (3/5) = 1/3
On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. On note A = "carte de cœur" et B = "figure" (valet, dame, roi).
a) Calculer P(A), P(B) et P(A ∩ B).
b) Calculer P(A|B) et P(B|A).
c) A et B sont-ils indépendants ?
a) P(A) = 13/52 = 1/4 | P(B) = 12/52 = 3/13 | P(A ∩ B) = 3/52 (3 figures de cœur)
b) P(A|B) = (3/52)/(12/52) = 3/12 = 1/4
P(B|A) = (3/52)/(13/52) = 3/13
c) P(A|B) = 1/4 = P(A) → A et B sont indépendants
Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues. On tire successivement 2 boules sans remise.
a) Construire l'arbre des probabilités.
b) Calculer P(les 2 boules sont rouges).
c) Calculer P(au moins une boule rouge).
a) 1er tirage : P(R₁) = 4/10 = 2/5 | P(B₁) = 6/10 = 3/5
2e tirage : P(R₂|R₁) = 3/9 = 1/3 | P(B₂|R₁) = 6/9 = 2/3
P(R₂|B₁) = 4/9 | P(B₂|B₁) = 5/9
b) P(R₁ ∩ R₂) = 2/5 × 1/3 = 2/15
c) P(au moins 1 rouge) = 1 − P(aucune rouge) = 1 − P(B₁ ∩ B₂)
= 1 − 3/5 × 5/9 = 1 − 15/45 = 1 − 1/3 = 2/3
On lance un dé équilibré. Si on obtient 6, on lance une pièce. Sinon, on tire une boule dans une urne contenant 3 boules noires et 2 boules blanches.
a) Calculer P(obtenir 6 et pile).
b) Calculer P(obtenir une boule noire).
a) P(6) = 1/6 | P(pile|6) = 1/2
P(6 et pile) = 1/6 × 1/2 = 1/12
b) P(pas 6) = 5/6 | P(noire|pas 6) = 3/5
P(noire) = P(pas 6) × P(noire|pas 6) = 5/6 × 3/5 = 1/2
Un lot contient des pièces provenant de deux machines. M₁ produit 70% des pièces avec 4% de défauts. M₂ produit 30% avec 6% de défauts.
a) Calculer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse.
b) On prend une pièce au hasard, elle est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de M₁ ?
a) P(D) = P(D|M₁)×P(M₁) + P(D|M₂)×P(M₂)
= 0,04 × 0,7 + 0,06 × 0,3 = 0,028 + 0,018 = 0,046 = 4,6%
b) P(M₁|D) = P(D|M₁) × P(M₁) / P(D) = 0,028 / 0,046 ≈ 0,609 = 60,9%
Un test médical détecte une maladie avec une probabilité de 0,95 (vrais positifs) et donne un faux positif avec une probabilité de 0,02. La maladie touche 1% de la population.
a) Calculer P(test positif).
b) Sachant que le test est positif, quelle est la probabilité d'être réellement malade ?
M = malade, T+ = test positif. P(M) = 0,01, P(T+|M) = 0,95, P(T+|M̄) = 0,02
a) P(T+) = 0,95×0,01 + 0,02×0,99 = 0,0095 + 0,0198 = 0,0293
b) P(M|T+) = P(T+|M) × P(M) / P(T+) = 0,0095 / 0,0293 ≈ 0,324 = 32,4%
Remarque : même avec un bon test, si la maladie est rare, la probabilité d'être malade reste faible !
On lance deux dés. A = "la somme vaut 7", B = "le premier dé donne 3".
a) Calculer P(A), P(B) et P(A ∩ B).
b) A et B sont-ils indépendants ?
a) P(A) = 6/36 = 1/6 (les couples : (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1))
P(B) = 6/36 = 1/6
P(A ∩ B) = 1/36 (seulement (3,4))
b) P(A) × P(B) = 1/6 × 1/6 = 1/36 = P(A ∩ B) → A et B sont indépendants
Dans un lycée de 200 élèves :
| Fille | Garçon | Total | |
|---|---|---|---|
| Spé Maths | 50 | 70 | 120 |
| Pas Spé Maths | 60 | 20 | 80 |
| Total | 110 | 90 | 200 |
a) P(fille) et P(spé maths).
b) P(spé maths | fille) et P(fille | spé maths).
c) Le fait d'être une fille et d'être en spé maths sont-ils indépendants ?
a) P(fille) = 110/200 = 11/20 | P(spé maths) = 120/200 = 3/5
b) P(spé maths | fille) = 50/110 = 5/11
P(fille | spé maths) = 50/120 = 5/12
c) P(spé maths | fille) = 5/11 ≠ 3/5 = P(spé maths)
→ Non indépendants : être une fille influence le fait d'être en spé maths.
On a deux urnes : U₁ contient 3 rouges et 2 bleues. U₂ contient 1 rouge et 4 bleues. On choisit U₁ avec probabilité 0,4 et U₂ avec probabilité 0,6, puis on tire une boule.
a) Calculer P(rouge).
b) Sachant qu'on a tiré une boule rouge, quelle est la probabilité d'avoir utilisé U₁ ?
a) P(R|U₁) = 3/5 | P(R|U₂) = 1/5
P(R) = 0,4 × 3/5 + 0,6 × 1/5 = 0,24 + 0,12 = 0,36
b) P(U₁|R) = P(R|U₁) × P(U₁) / P(R) = (0,4 × 3/5) / 0,36 = 0,24/0,36 = 2/3 ≈ 0,667
Un sportif s'entraîne 3 jours sur 5. Le jour où il s'entraîne, il réussit son test avec P = 0,8. Le jour où il ne s'entraîne pas, il réussit avec P = 0,3.
a) Calculer la probabilité qu'il réussisse son test.
b) Il a réussi son test. Quelle est la probabilité qu'il se soit entraîné ce jour-là ?
c) Calculer P(ne s'entraîne pas | échoue).
E = s'entraîne, R = réussit. P(E) = 3/5, P(R|E) = 0,8, P(R|Ē) = 0,3
a) P(R) = 0,8 × 3/5 + 0,3 × 2/5 = 0,48 + 0,12 = 0,60
b) P(E|R) = (0,8 × 3/5) / 0,60 = 0,48 / 0,60 = 0,8 = 80%
c) P(Ē) = 2/5 | P(Ē ∩ Ē_test) = P(Ē) × P(R̄|Ē) = 2/5 × 0,7 = 0,28
P(R̄) = 1 − 0,60 = 0,40
P(Ē|R̄) = 0,28 / 0,40 = 0,70 = 70%