Exercices — Produit Scalaire

1

Calcul par coordonnées Facile

Calculer le produit scalaire u · v pour chaque paire :

a) u(2, 3) et v(4, 1)

b) u(−1, 5) et v(3, 2)

c) u(0, 4) et v(3, 0)

✅ Correction

a) u · v = 2×4 + 3×1 = 8 + 3 = 11

b) u · v = (−1)×3 + 5×2 = −3 + 10 = 7

c) u · v = 0×3 + 4×0 = 0 → vecteurs perpendiculaires !

2

Norme d'un vecteur Facile

a) Calculer |u| pour u(3, 4).

b) Calculer |v| pour v(−5, 12).

c) Calculer |w| pour w(1, 1).

✅ Correction

a) |u| = √(9 + 16) = √25 = 5

b) |v| = √(25 + 144) = √169 = 13

c) |w| = √(1 + 1) = √2

3

Vecteurs perpendiculaires Facile

Déterminer si les vecteurs suivants sont perpendiculaires :

a) u(3, −2) et v(4, 6)

b) u(1, 2) et v(−4, 2)

c) u(5, 3) et v(3, −5)

✅ Correction

a) u · v = 3×4 + (−2)×6 = 12 − 12 = 0 → perpendiculaires ✓

b) u · v = 1×(−4) + 2×2 = −4 + 4 = 0 → perpendiculaires ✓

c) u · v = 5×3 + 3×(−5) = 15 − 15 = 0 → perpendiculaires ✓

4

Calcul d'angle Moyen

Calculer l'angle entre u et v (valeur exacte si possible, sinon au degré).

a) u(1, 0) et v(1, 1)

b) u(2, 2) et v(0, 3)

✅ Correction

a) u · v = 1 | |u| = 1 | |v| = √2

cos(θ) = 1 / (1 × √2) = 1/√2 → θ = π/4 = 45°

b) u · v = 0×2 + 2×3 = 6 | |u| = 2√2 | |v| = 3

cos(θ) = 6 / (6√2) = 1/√2 → θ = π/4 = 45°

5

Produit scalaire avec points Moyen

On donne A(1, 2), B(4, 6), C(−1, 3).

a) Calculer AB · AC.

b) Calculer l'angle BAC.

c) Le triangle ABC est-il rectangle en A ?

✅ Correction

AB = (3, 4) | AC = (−2, 1)

a) AB · AC = 3×(−2) + 4×1 = −6 + 4 = −2

b) |AB| = 5 | |AC| = √5

cos(BAC) = −2 / (5 × √5) ≈ −0,179 → BAC ≈ 100,3°

c) AB · AC = −2 ≠ 0 → pas rectangle en A

6

Trouver k pour que les vecteurs soient perpendiculaires Moyen

a) Trouver k tel que u(k, 3) et v(2, −4) soient perpendiculaires.

b) Trouver k tel que u(k, 1) et v(k, 2) soient perpendiculaires.

✅ Correction

a) u · v = 0 → 2k + 3×(−4) = 0 → 2k − 12 = 0 → k = 6

b) u · v = 0 → k² + 1×2 = 0 → k² = −2 → pas de solution réelle (k² ≥ 0)

7

Produit scalaire par la formule cos Moyen

Dans un triangle équilatéral ABC de côté 4.

a) Calculer AB · AC en utilisant u · v = |u| × |v| × cos(θ).

b) Calculer AB · BC.

✅ Correction

a) Dans un triangle équilatéral, l'angle en A vaut 60°.

AB · AC = |AB| × |AC| × cos(60°) = 4 × 4 × 1/2 = 8

b) L'angle entre AB et BC vaut 180° − 60° = 120°.

AB · BC = 4 × 4 × cos(120°) = 16 × (−1/2) = −8

8

Triangle rectangle Moyen

On donne A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3).

a) Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

b) Calculer AB · BC et interpréter.

c) Calculer la longueur BC (hypoténuse).

✅ Correction

AB = (4, 0) | AC = (0, 3)

a) AB · AC = 4×0 + 0×3 = 0 → ABC rectangle en A ✓

b) BC = (−4, 3) | AB · BC = 4×(−4) + 0×3 = −16 ≠ 0 → AB et BC ne sont pas perpendiculaires (logique).

c) |BC| = √(16 + 9) = √25 = 5

9

Formule de la médiane Difficile

On donne A(1, 1), B(5, 1), C(3, 5). M est le milieu de [BC].

a) Calculer les coordonnées de M.

b) Calculer AM · BC.

c) Que peut-on en conclure sur AM et BC ?

✅ Correction

a) M = ((5+3)/2, (1+5)/2) = (4, 3)

AM = (3, 2) | BC = (−2, 4)

b) AM · BC = 3×(−2) + 2×4 = −6 + 8 = 2 ≠ 0

c) AM · BC ≠ 0 → AM et BC ne sont pas perpendiculaires. La médiane AM n'est pas une hauteur.

10

Exercice type bac — Triangle quelconque Difficile

On donne A(2, 1), B(6, 3), C(4, 7).

a) Calculer les trois produits scalaires : AB · AC, BA · BC et CA · CB.

b) Le triangle est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?

c) Calculer le périmètre du triangle.

✅ Correction

AB = (4, 2) | AC = (2, 6) | BC = (−2, 4)

BA = (−4, −2) | CA = (−2, −6) | CB = (2, −4)

a) AB · AC = 4×2 + 2×6 = 8 + 12 = 20

BA · BC = (−4)×(−2) + (−2)×4 = 8 − 8 = 0

CA · CB = (−2)×2 + (−6)×(−4) = −4 + 24 = 20

b) BA · BC = 0 → triangle rectangle en B ✓

c) |AB| = √20 = 2√5 | |BC| = √20 = 2√5 | |AC| = √40 = 2√10

Périmètre = 2√5 + 2√5 + 2√10 = 4√5 + 2√10 ≈ 15,3