📘 Première Spé Maths

Produit Scalaire

Définitions, formules de calcul et applications géométriques.

1. Définitions

Produit scalaire de deux vecteurs Soient u et v deux vecteurs non nuls et θ l'angle entre eux (0 ≤ θ ≤ π).

Définition — formule de l'angle u · v = |u| × |v| × cos(θ)

Cas particuliers
• Si u ⊥ v alors u · v = 0
• Si u et v sont colinéaires de même sens : cos(θ) = 1 → u · v = |u| × |v|

2. Formules de calcul

Par coordonnées u(x₁, y₁) · v(x₂, y₂) = x₁·x₂ + y₁·y₂

Norme (carré) |u|² = u · u = x₁² + y₁²

Formule du cosinus (Al-Kashi) u · v = ( |u|² + |v|² − |u − v|² ) / 2

Formule de polarisation u · v = ( |u + v|² − |u|² − |v|² ) / 2

✏️ Exemple — Calcul par coordonnées

u(3, −2) et v(1, 4).

u · v = 3×1 + (−2)×4 = 3 − 8 = −5

|u| = √(9+4) = √13 | |v| = √(1+16) = √17

cos(θ) = −5 / (√13 × √17) = −5/√221 ≈ −0,336 → θ ≈ 109,6°

3. Applications — Perpendicularité et angles

📐 Montrer que deux vecteurs sont perpendiculaires

✏️ Exemple — Perpendicularité

u(2, 3) et v(3, −2).

u · v = 2×3 + 3×(−2) = 6 − 6 = 0

→ u et v sont perpendiculaires ✓

✏️ Exemple — Calcul d'angle BAC

A(1, 0), B(3, 2), C(1, 4). Calculer l'angle BAC.

AB = (2, 2) | AC = (0, 4)

AB · AC = 2×0 + 2×4 = 8

|AB| = √8 = 2√2 | |AC| = 4

cos(BAC) = 8 / (2√2 × 4) = 8 / (8√2) = 1/√2

→ angle BAC = π/4 = 45°

💡 Retenir : produit scalaire nul = vecteurs perpendiculaires. C'est la propriété la plus utilisée dans les exercices.