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Soit la suite (uₙ) définie par u₀ = 3 et uₙ₊₁ = 2uₙ + 1.
a) Calculer u₁, u₂ et u₃.
b) Calculer u₅.
a) u₁ = 2×3+1 = 7 | u₂ = 2×7+1 = 15 | u₃ = 2×15+1 = 31
b) u₄ = 2×31+1 = 63 → u₅ = 2×63+1 = 127
On considère la suite (uₙ) définie par uₙ = 5n − 2.
a) Calculer u₀, u₁, u₂, u₃.
b) Montrer que (uₙ) est arithmétique et donner sa raison r et son premier terme u₀.
c) Calculer u₁₀.
a) u₀ = −2, u₁ = 3, u₂ = 8, u₃ = 13
b) uₙ₊₁ − uₙ = [5(n+1)−2] − [5n−2] = 5n+5−2−5n+2 = 5
Différence constante → suite arithmétique de raison r = 5 et u₀ = −2.
c) u₁₀ = u₀ + 10×r = −2 + 10×5 = −2 + 50 = 48
On considère la suite (uₙ) définie par uₙ = 2 × 3ⁿ.
a) Calculer u₀, u₁, u₂.
b) Montrer que (uₙ) est géométrique, donner sa raison q et u₀.
c) Calculer u₆.
a) u₀ = 2, u₁ = 6, u₂ = 18
b) uₙ₊₁/uₙ = (2×3^(n+1))/(2×3ⁿ) = 3^(n+1−n) = 3
Rapport constant → suite géométrique de raison q = 3 et u₀ = 2.
c) u₆ = 2 × 3⁶ = 2 × 729 = 1458
Soit (uₙ) définie par uₙ = n² − 4n + 3 pour n ≥ 0.
a) Calculer u₀, u₁, u₂, u₃, u₄.
b) Étudier le sens de variation de (uₙ) pour n ≥ 2.
a) u₀ = 3, u₁ = 0, u₂ = −1, u₃ = 0, u₄ = 3
b) uₙ₊₁ − uₙ = (n+1)² − 4(n+1)+3 − n²+4n−3
= n²+2n+1−4n−4+3−n²+4n−3 = 2n − 3
Pour n ≥ 2 : 2n−3 ≥ 1 > 0 → suite croissante pour n ≥ 2.
Une suite (uₙ) vérifie u₁ = 4 et uₙ₊₁ = uₙ − 3 pour tout n ≥ 1.
a) Quelle est la nature de cette suite ? Donner sa raison.
b) Exprimer uₙ en fonction de n.
c) Calculer u₂₀ et déterminer à partir de quel rang uₙ est négatif.
a) uₙ₊₁ − uₙ = −3 (constant) → suite arithmétique de raison r = −3.
b) uₙ = u₁ + (n−1)×(−3) = 4 − 3(n−1) = 4 − 3n + 3 = 7 − 3n
c) u₂₀ = 7 − 60 = −53
uₙ < 0 ⟺ 7−3n < 0 ⟺ n > 7/3 ≈ 2,33 → à partir de n = 3.
Un capital de 1000 € est placé à 5% d'intérêts annuels composés.
a) Exprimer le capital Cₙ après n années en fonction de n.
b) Quel est le capital après 10 ans ? (Donner la valeur exacte puis une valeur approchée.)
c) Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il 2000 € ?
a) Chaque année le capital est multiplié par 1,05 → suite géométrique.
C₀ = 1000, Cₙ = 1000 × 1,05ⁿ
b) C₁₀ = 1000 × 1,05¹⁰ ≈ 1000 × 1,6289 ≈ 1628,89 €
c) 1000 × 1,05ⁿ > 2000 ⟺ 1,05ⁿ > 2
Par calcul : n > ln(2)/ln(1,05) ≈ 14,2 → à partir de n = 15 ans.
Soit (uₙ) définie par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 3uₙ + 2.
a) Calculer u₁, u₂, u₃.
b) On pose vₙ = uₙ + 1. Montrer que (vₙ) est géométrique et donner sa raison.
c) En déduire une expression de uₙ.
a) u₁ = 5, u₂ = 17, u₃ = 53
b) vₙ = uₙ + 1 donc vₙ₊₁ = uₙ₊₁ + 1 = 3uₙ + 2 + 1 = 3uₙ + 3 = 3(uₙ+1) = 3vₙ
vₙ₊₁ / vₙ = 3 → (vₙ) est géométrique de raison q = 3.
v₀ = u₀ + 1 = 2 → vₙ = 2 × 3ⁿ
c) uₙ = vₙ − 1 = 2 × 3ⁿ − 1
On considère la suite arithmétique (uₙ) avec u₁ = 2 et r = 5.
a) Donner l'expression de uₙ.
b) Calculer la somme S = u₁ + u₂ + ... + u₁₀.
c) Calculer la somme S = u₁ + u₂ + ... + u₂₀.
a) uₙ = 2 + (n−1)×5 = 5n − 3
b) u₁₀ = 5×10−3 = 47
S = 10 × (u₁ + u₁₀)/2 = 10 × (2+47)/2 = 10 × 24,5 = 245
c) u₂₀ = 5×20−3 = 97
S = 20 × (2+97)/2 = 20 × 49,5 = 990
Soit (uₙ) définie par u₀ = 10 et uₙ₊₁ = 0,9uₙ + 2.
a) Calculer u₁ et u₂.
b) On pose vₙ = uₙ − 20. Montrer que (vₙ) est géométrique et donner sa raison.
c) Exprimer vₙ puis uₙ en fonction de n.
d) Étudier le sens de variation de (uₙ) et sa limite.
a) u₁ = 0,9×10+2 = 11 | u₂ = 0,9×11+2 = 11,9
b) vₙ₊₁ = uₙ₊₁ − 20 = 0,9uₙ+2−20 = 0,9uₙ−18 = 0,9(uₙ−20) = 0,9vₙ
→ (vₙ) est géométrique de raison q = 0,9.
c) v₀ = u₀−20 = −10 → vₙ = −10 × 0,9ⁿ
uₙ = vₙ + 20 = 20 − 10 × 0,9ⁿ
d) uₙ₊₁ − uₙ = vₙ₊₁ − vₙ = 0,9vₙ − vₙ = −0,1vₙ = −0,1×(−10×0,9ⁿ) = 0,9ⁿ > 0
→ suite strictement croissante. Comme 0 < 0,9 < 1 : 0,9ⁿ → 0, donc uₙ → 20.
En 2020, une ville compte 50 000 habitants. Chaque année, la population augmente de 2%.
a) Modéliser la population Pₙ après n années par une suite. Quelle est sa nature ?
b) Donner l'expression de Pₙ.
c) Quelle sera la population en 2030 ? En 2040 ?
d) Au bout de combien d'années la population aura-t-elle doublé ?
a) Pₙ₊₁ = 1,02 × Pₙ → suite géométrique de raison q = 1,02.
b) P₀ = 50 000, Pₙ = 50 000 × 1,02ⁿ
c) 2030 : n = 10 → P₁₀ = 50 000 × 1,02¹⁰ ≈ 50 000 × 1,2190 ≈ 60 950 habitants
2040 : n = 20 → P₂₀ = 50 000 × 1,02²⁰ ≈ 50 000 × 1,4859 ≈ 74 297 habitants
d) 50 000 × 1,02ⁿ ≥ 100 000 ⟺ 1,02ⁿ ≥ 2
n ≥ ln(2)/ln(1,02) ≈ 35,0 → la population double après 35 ans (en 2055).
Soit (uₙ) géométrique avec u₀ = 3 et q = 2.
a) Calculer Sₙ = u₀ + u₁ + u₂ + ... + uₙ.
b) Calculer S₈.
a) Formule de la somme géométrique :
Sₙ = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q) = 3 × (1 − 2ⁿ⁺¹) / (1 − 2) = 3 × (2ⁿ⁺¹ − 1)
b) S₈ = 3 × (2⁹ − 1) = 3 × (512 − 1) = 3 × 511 = 1533
On considère la suite (uₙ) définie par u₁ = 1 et uₙ₊₁ = uₙ + 2n + 1.
a) Calculer u₂, u₃, u₄. Que remarques-tu ?
b) Conjecturer l'expression de uₙ.
c) Démontrer cette conjecture par récurrence.
a) u₂ = 1+3 = 4, u₃ = 4+5 = 9, u₄ = 9+7 = 16 → ce sont des carrés parfaits !
b) Conjecture : uₙ = n²
c) Initialisation : u₁ = 1 = 1² ✓
Hérédité : Supposons uₙ = n². Montrons uₙ₊₁ = (n+1)².
uₙ₊₁ = uₙ + 2n + 1 = n² + 2n + 1 = (n+1)² ✓
→ La propriété est vraie pour tout n ≥ 1 : uₙ = n².