📘 Première Spé Maths

Les Suites Numériques

Arithmétiques, géométriques, sens de variation et sommes des termes.

1. Définitions essentielles
Suite numérique Une suite (un) est une liste ordonnée de nombres réels. u0 est le premier terme, u1 le deuxième, etc.
Suite par terme général On donne une formule directe : un = f(n). On calcule n'importe quel terme directement sans passer par les précédents.
Suite par récurrence On donne u0 et une relation : un+1 = f(un). Pour calculer un terme, il faut connaître le précédent.
✏️ Exemple — Terme général

un = 3n + 1. Calculer u0, u1, u2, u5.

u0 = 3(0)+1 = 1  |  u1 = 3(1)+1 = 4

u2 = 3(2)+1 = 7  |  u5 = 3(5)+1 = 16

✏️ Exemple — Récurrence

u0 = 2, un+1 = 2un − 1. Calculer u1, u2, u3.

u1 = 2(2)−1 = 3  |  u2 = 2(3)−1 = 5  |  u3 = 2(5)−1 = 9

2. Suite arithmétique
Définition Une suite (un) est arithmétique s'il existe un réel r (la raison) tel que : un+1 = un + r pour tout n. On additionne toujours la même valeur r.
Terme général
un = u0 + n × r | un = u1 + (n − 1) × r
Somme des n premiers termes (de u₁ à uₙ)
S = n × (u1 + un) / 2 = n × (premier + dernier) / 2
📐 Comment montrer qu'une suite est arithmétique
  1. Calculer un+1 − un
  2. Simplifier l'expression
  3. Si le résultat est un réel constant r → suite arithmétique de raison r
✏️ Exemple complet

un = 4n − 3. Montrer que (un) est arithmétique, donner u0 et r.

un+1 − un = [4(n+1)−3] − [4n−3] = 4n+4−3−4n+3 = 4 (constante)

→ Suite arithmétique de raison r = 4 et u0 = 4(0)−3 = −3.

Calcul de u9 : u9 = −3 + 9×4 = −3 + 36 = 33

Somme u1 + ... + u10 = 10 × (u1 + u10) / 2 = 10 × (1 + 37) / 2 = 190

⚠️ r > 0 → croissante  |  r < 0 → décroissante  |  r = 0 → constante

3. Suite géométrique
Définition Une suite (un) est géométrique s'il existe un réel q ≠ 0 (la raison) tel que : un+1 = q × un pour tout n. On multiplie toujours par la même valeur q.
Terme général
un = u0 × qn | un = u1 × qn−1
Somme des n premiers termes (de u₀ à uₙ₋₁), avec q ≠ 1
S = u0 × (1 − qn) / (1 − q)
Ou : S = u0 × (qn − 1) / (q − 1)  (forme équivalente)
📐 Comment montrer qu'une suite est géométrique
  1. Calculer un+1 / un (avec un ≠ 0)
  2. Simplifier l'expression
  3. Si le résultat est un réel constant q → suite géométrique de raison q
✏️ Exemple complet

un = 3 × 2n. Montrer que (un) est géométrique.

un+1 / un = (3 × 2n+1) / (3 × 2n) = 2n+1−n = 2 (constante)

→ Suite géométrique de raison q = 2 et u0 = 3×20 = 3.

Calcul de u5 : u5 = 3 × 25 = 3 × 32 = 96

Somme u0 + ... + u4 = 3 × (1 − 25) / (1 − 2) = 3 × (1−32) / (−1) = 3 × 31 = 93

⚠️ q > 1 → croissante (si u0 > 0)  |  0 < q < 1 → décroissante (si u0 > 0)  |  q < 0 → termes alternent de signe

4. Sens de variation
Croissante un+1 − un ≥ 0 pour tout n
Décroissante un+1 − un ≤ 0 pour tout n
📐 Méthode — Étudier la variation
  1. Calculer un+1 − un
  2. Factoriser si possible
  3. Étudier le signe selon n ≥ 0 (ou n ≥ 1)
  4. Conclure : positif → croissante, négatif → décroissante
✏️ Exemple

un = n² − 2n pour n ≥ 1. Étudier la variation.

un+1 − un = (n+1)² − 2(n+1) − n² + 2n

= n²+2n+1−2n−2−n²+2n = 2n − 1

Pour n ≥ 1 : 2n − 1 ≥ 1 > 0 → suite strictement croissante pour n ≥ 1.

5. Tableau récapitulatif
Suite arithmétique Suite géométrique
Définition un+1 = un + r un+1 = q × un
Terme général un = u0 + n·r un = u0 × qn
Test un+1 − un = constante un+1 / un = constante
Somme n × (u1 + un) / 2 u0 × (1 − qn) / (1 − q)
Croissante si r > 0 q > 1 (et u0 > 0)
Décroissante si r < 0 0 < q < 1 (et u0 > 0)

💡 Astuce : Arithmétique = + (addition)  |  Géométrique = × (multiplication). Retenir les formules du terme général et des sommes suffit pour 90% des exercices.

← Retour aux cours ✏️ Faire les exercices 📩 Poser une question