Exercices — Trigonométrie

1

Conversions degrés/radians Facile

a) Convertir en radians : 30°, 45°, 90°, 135°, 270°

b) Convertir en degrés : π/3, 5π/6, 3π/4, 7π/6

✅ Correction

a) 30° = π/6 | 45° = π/4 | 90° = π/2 | 135° = 3π/4 | 270° = 3π/2

b) π/3 = 60° | 5π/6 = 150° | 3π/4 = 135° | 7π/6 = 210°

2

Valeurs exactes Facile

Donner les valeurs exactes de :

a) cos(π/6), sin(π/6), cos(π/4), sin(π/4)

b) cos(2π/3), sin(2π/3), cos(3π/4), sin(5π/6)

✅ Correction

a) cos(π/6) = √3/2 | sin(π/6) = 1/2 | cos(π/4) = √2/2 | sin(π/4) = √2/2

b) cos(2π/3) = −cos(π/3) = −1/2 | sin(2π/3) = sin(π/3) = √3/2

cos(3π/4) = −cos(π/4) = −√2/2 | sin(5π/6) = sin(π/6) = 1/2

3

Identité cos² + sin² = 1 Facile

On sait que sin(x) = 3/5 et que x est dans [π/2, π].

a) Calculer cos(x) en justifiant le signe.

b) Calculer tan(x).

✅ Correction

a) cos²(x) = 1 − sin²(x) = 1 − 9/25 = 16/25 → cos(x) = ±4/5

x ∈ [π/2, π] → 2e quadrant → cos(x) < 0 → cos(x) = −4/5

b) tan(x) = sin(x)/cos(x) = (3/5)/(−4/5) = −3/4

4

Équation cos(x) = a Moyen

Résoudre sur ℝ :

a) cos(x) = 0

b) cos(x) = −1/2

c) cos(x) = √3/2

✅ Correction

a) cos(x) = 0 → x = π/2 + kπ, k ∈ ℤ

b) cos(x) = −1/2, arccos(−1/2) = 2π/3 → x = 2π/3 + 2kπ ou x = −2π/3 + 2kπ

c) cos(x) = √3/2, arccos(√3/2) = π/6 → x = π/6 + 2kπ ou x = −π/6 + 2kπ

5

Équation sin(x) = a Moyen

Résoudre sur ℝ :

a) sin(x) = 1/2

b) sin(x) = −√2/2

c) 2sin(x) + 1 = 0

✅ Correction

a) sin(x) = 1/2 → x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ

b) sin(x) = −√2/2 → x = −π/4 + 2kπ ou x = π+π/4 + 2kπ = 5π/4 + 2kπ

c) sin(x) = −1/2 → x = −π/6 + 2kπ ou x = π+π/6 + 2kπ = 7π/6 + 2kπ

6

Équation sur un intervalle Moyen

Résoudre sur [0, 2π] :

a) 2cos(x) − 1 = 0

b) sin(x) + cos(x) = 0 (indice : diviser par cos(x))

✅ Correction

a) cos(x) = 1/2 → x = π/3 ou x = 5π/3 (sur [0,2π])

b) sin(x) + cos(x) = 0 → tan(x) = −1 → x = −π/4 + kπ

Sur [0,2π] : x = 3π/4 ou x = 7π/4

7

Équation avec 2x Moyen

a) Résoudre cos(2x) = 1/2 sur [0, 2π].

b) Résoudre sin(2x) = 0 sur [0, π].

✅ Correction

a) cos(2x) = 1/2 → 2x = π/3 + 2kπ ou 2x = −π/3 + 2kπ

x = π/6 + kπ ou x = −π/6 + kπ

Sur [0, 2π] : x = π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6

b) sin(2x) = 0 → 2x = kπ → x = kπ/2

Sur [0, π] : x = 0, π/2, π

8

Formules de symétrie Moyen

Simplifier les expressions suivantes :

a) cos(π − x) + cos(π + x)

b) sin(−x) + sin(π − x)

c) cos(π/2 − x) − sin(π/2 + x)

✅ Correction

a) −cos(x) + (−cos(x)) = −2cos(x)

b) −sin(x) + sin(x) = 0

c) sin(x) − cos(x) [car sin(π/2+x) = cos(x)] = sin(x) − cos(x)

9

Étude d'une fonction trigonométrique Difficile

Soit f(x) = 2sin(x) + cos(x) sur [0, 2π].

a) Calculer f'(x).

b) Étudier les variations de f sur [0, 2π].

✅ Correction

a) f'(x) = 2cos(x) − sin(x)

b) f'(x) = 0 → 2cos(x) = sin(x) → tan(x) = 2

x₀ = arctan(2) ≈ 1,107 rad | x₁ = π + arctan(2) ≈ 4,249 rad

f(x₀) = √5 (maximum) | f(x₁) = −√5 (minimum)

10

Problème — Phénomène périodique Difficile

La température T(t) (en °C) d'une ville est modélisée par T(t) = 12 + 10sin(πt/6 − π/2) où t est en mois (t=0 = janvier).

a) Quelle est la température en janvier (t=0) ? En juillet (t=6) ?

b) Déterminer les mois où la température est maximale et minimale.

c) Trouver les mois où T(t) = 17°C.

✅ Correction

a) T(0) = 12 + 10sin(−π/2) = 12 − 10 = 2°C

T(6) = 12 + 10sin(π−π/2) = 12 + 10sin(π/2) = 12 + 10 = 22°C

b) Maximum quand sin = 1 : πt/6−π/2 = π/2 → t = 6 → juillet

Minimum quand sin = −1 : πt/6−π/2 = −π/2 → t = 0 → janvier

c) 12 + 10sin(πt/6−π/2) = 17 → sin(πt/6−π/2) = 1/2

πt/6−π/2 = π/6 → t = 4 (avril) ou πt/6−π/2 = 5π/6 → t = 8 (août)