1. Cercle trigonométrique & Radians
Radian
Unité d'angle. Un tour complet = 2π radians = 360°. Un demi-tour = π radians = 180°.
Conversions
Degrés → Radians : multiplier par π / 180
Radians → Degrés : multiplier par 180 / π
✏️ Conversions importantes à retenir
| Degrés |
0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
120° | 180° | 270° | 360° |
| Radians |
0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
2π/3 | π | 3π/2 | 2π |
2. Valeurs remarquables
| x |
0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
| cos(x) |
1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| sin(x) |
0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| tan(x) |
0 | 1/√3 | 1 | √3 | indéf. |
⚠️ Astuce mémoire pour sin : penser à √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1.
3. Formules fondamentales
Identité pythagoricienne
cos²(x) + sin²(x) = 1
Parité
cos(−x) = cos(x) | sin(−x) = −sin(x)
Symétrie par rapport à π/2
cos(π/2 − x) = sin(x) | sin(π/2 − x) = cos(x)
Symétrie par rapport à π
cos(π − x) = −cos(x) | sin(π − x) = sin(x)
Translation de π
cos(π + x) = −cos(x) | sin(π + x) = −sin(x)
4. Résolution d'équations trigonométriques
📐 Équation cos(x) = a (|a| ≤ 1)
- Trouver x0 = arccos(a) — valeur principale dans [0, π]
- Solutions : x = x0 + 2kπ ou x = −x0 + 2kπ (k ∈ ℤ)
📐 Équation sin(x) = a (|a| ≤ 1)
- Trouver x0 = arcsin(a) — valeur principale dans [−π/2, π/2]
- Solutions : x = x0 + 2kπ ou x = π − x0 + 2kπ (k ∈ ℤ)
✏️ Exemple — Résoudre cos(x) = 1/2
arccos(1/2) = π/3
x = π/3 + 2kπ ou x = −π/3 + 2kπ, k ∈ ℤ
✏️ Exemple — Résoudre sin(x) = √2/2
arcsin(√2/2) = π/4
x = π/4 + 2kπ ou x = 3π/4 + 2kπ, k ∈ ℤ
✏️ Exemple — Résoudre 2sin(x) − 1 = 0
2sin(x) = 1 → sin(x) = 1/2
x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ, k ∈ ℤ
💡 Retenir absolument les valeurs en 0, π/6, π/4, π/3, π/2. Tout le reste se retrouve avec les formules de symétrie.