Vecteurs, fonctions, équations et inéquations. 12 exercices types d'évaluation.
📐 Chapitre 1 — Vecteurs
On donne les points A(1, 3), B(4, 7), C(−1, 2), D(2, 6).
a) Calculer les coordonnées de AB, AC et CD.
b) Calculer les normes |AB| et |AC|.
c) Montrer que ABDC est un parallélogramme.
AB = (3, 4) | AC = (−2, −1) | CD = (3, 4)
|AB| = √(9 + 16) = 5 | |AC| = √(4 + 1) = √5
AB = CD = (3, 4) → côtés parallèles et égaux → ABDC est un parallélogramme
On donne A(0, 1), B(2, 5), C(−1, −1).
a) Calculer AB et AC.
b) Les points A, B, C sont-ils alignés ? Justifier.
c) On pose D tel que BD = 2AB. Calculer les coordonnées de D.
AB = (2, 4) | AC = (−1, −2)
Test colinéarité : 2×(−2) − 4×(−1) = −4 + 4 = 0 → colinéaires → A, B, C alignés ✓
BD = 2AB = (4, 8) → D = B + (4, 8) = (2+4, 5+8) = (6, 13)
On donne A(1, 2), B(3, 0), C(5, 4) et M le milieu de [AC].
a) Calculer les coordonnées de M.
b) Décomposer BM en utilisant la relation de Chasles.
c) Calculer BM et |BM|.
M = ((1+5)/2, (2+4)/2) = (3, 3)
BM = BA + AM (Chasles) ou directement BM = M − B
BM = (3−3, 3−0) = (0, 3) | |BM| = 3
📈 Chapitre 2 — Fonctions
Soit f(x) = 3x² − 2x + 1.
a) Calculer f(0), f(1), f(−1), f(2).
b) Résoudre f(x) = 1.
c) Le point A(1, 2) appartient-il à Cf ?
f(0) = 1 | f(1) = 2 | f(−1) = 6 | f(2) = 9
3x² − 2x + 1 = 1 → 3x² − 2x = 0 → x(3x−2) = 0 → x = 0 ou x = 2/3
f(1) = 2 = ordonnée de A → A ∈ Cf ✓
Dresser le tableau de signes de f(x) = (x + 2)(x − 3).
a) Trouver les racines.
b) Dresser le tableau de signes complet.
c) Résoudre f(x) ≤ 0.
Racines : x = −2 et x = 3
| x | −∞ | −2 | 3 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (x+2) | − | 0 | + | + | + | ||
| (x−3) | − | − | − | 0 | + | ||
| f(x) | + | 0 | − | 0 | + |
f(x) ≤ 0 → x ∈ [−2, 3]
Résoudre les équations suivantes :
a) x² − 5x + 6 = 0
b) 2x² + 3x − 2 = 0
c) x² + 4x + 5 = 0
a) Δ = 25 − 24 = 1 → x = (5 ± 1)/2 → x = 2 ou x = 3
b) Δ = 9 + 16 = 25 → x = (−3 ± 5)/4 → x = 1/2 ou x = −2
c) Δ = 16 − 20 = −4 < 0 → pas de solution réelle
Résoudre les inéquations :
a) 3x − 2 > 7
b) x² − 4 ≤ 0
c) (2x − 1) / (x + 3) > 0
a) 3x > 9 → x > 3
b) (x−2)(x+2) ≤ 0 → x ∈ [−2, 2]
c) Racines : x = 1/2 et x = −3 (interdit).
Positif sur ]−∞, −3[ ∪ ]1/2, +∞[ → x ∈ ]−∞, −3[ ∪ ]1/2, +∞[
f(x) = x³ − 2x² + x − 1. Parmi les points suivants, lesquels appartiennent à Cf ?
A(0, −1) B(1, 0) C(2, 1) D(−1, −5)
f(0) = −1 = ordonnée de A → A ∈ Cf ✓
f(1) = 1−2+1−1 = −1 ≠ 0 → B ∉ Cf ✗
f(2) = 8−8+2−1 = 1 = ordonnée de C → C ∈ Cf ✓
f(−1) = −1−2−1−1 = −5 = ordonnée de D → D ∈ Cf ✓
Soit f(x) = −2x² + 8x − 3.
a) Montrer que f(x) = −2(x−2)² + 5 (forme canonique).
b) En déduire le maximum de f et l'abscisse où il est atteint.
c) Dresser le tableau de variation de f.
a) −2(x−2)² + 5 = −2x² + 8x − 8 + 5 = −2x² + 8x − 3 = f(x) ✓
b) −2(x−2)² ≤ 0 → f(x) ≤ 5. Maximum = 5 atteint en x = 2.
| x | −∞ | 2 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | −∞ | ↗ | 5 | ↘ | −∞ |
On veut construire un enclos rectangulaire avec 60 m de clôture. Soit x la largeur.
a) Exprimer la longueur L en fonction de x.
b) Exprimer l'aire A(x) en fonction de x. Quel est le domaine de définition ?
c) Montrer que A(x) = −x² + 30x. Trouver x qui maximise l'aire.
a) 2x + 2L = 60 → L = 30 − x
b) A(x) = x(30−x) | Domaine : x ∈ ]0, 30[
c) A(x) = −x² + 30x = −(x−15)² + 225
Maximum en x = 15 m → carré de côté 15 m
Aire maximale = 225 m²
Résoudre f(x) = (x² − 1) / (x − 2) > 0.
a) Factoriser le numérateur.
b) Dresser le tableau de signes complet.
c) Donner l'ensemble solution.
a) x² − 1 = (x−1)(x+1)
b) Valeurs remarquables : x = −1, x = 1, x = 2 (interdit)
| x | −∞ | −1 | 1 | 2 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (x+1) | − | 0 | + | + | + | + | + | |
| (x−1) | − | − | − | 0 | + | + | + | |
| (x−2) | − | − | − | − | − | 0 | + | |
| f(x) | − | 0 | + | 0 | − | || | + |
c) Solution : x ∈ ]−1, 1[ ∪ ]2, +∞[
La courbe Cf d'une fonction f passe par A(0, 2) et B(3, −1). On suppose f(x) = ax + b.
a) Déterminer a et b.
b) Résoudre f(x) > 0.
c) Calculer x tel que f(x) = f(2x) + 1.
a) f(0) = b = 2 | f(3) = 3a + 2 = −1 → a = −1 → f(x) = −x + 2
b) −x + 2 > 0 → x ∈ ]−∞, 2[
c) f(2x) + 1 = −2x + 3 | −x + 2 = −2x + 3 → x = 1 → x = 1